Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием геометрической прогрессии, так как масса колонии увеличивается в одинаковое количество раз за равные промежутки времени.

1. Сначала определим количество периодов увеличения массы. Общее время эксперимента составляет 80 минут, а одно увеличение происходит каждые 20 минут. Разделим общее время на длительность одного периода:
$80 : 20 = 4$ (периода).

2. Обозначим начальную массу колонии как $b_1 = 3$ мг.
Так как масса увеличивается в 3 раза, знаменатель геометрической прогрессии равен $q = 3$.

3. Проследим изменение массы по этапам:
— Через 20 минут (1-й период): $3 \cdot 3 = 9$ мг;
— Через 40 минут (2-й период): $9 \cdot 3 = 27$ мг;
— Через 60 минут (3-й период): $27 \cdot 3 = 81$ мг;
— Через 80 минут (4-й период): $81 \cdot 3 = 243$ мг.

4. Также это можно вычислить по формуле $n$-го члена геометрической прогрессии. Искомая масса через 4 периода будет соответствовать пятому члену последовательности (где первый член — начальное состояние):
$b_5 = b_1 \cdot q^4$
$b_5 = 3 \cdot 3^4 = 3 \cdot 81 = 243$.

Таким образом, через 80 минут масса колонии составит 243 мг.

Ответ: 243

Источник: ФИПИ