Задание №15 — Геометрия

Решение.

1) Вспомним важное свойство равностороннего треугольника: в нём биссектриса, проведённая к стороне, также является медианой и высотой. Это значит, что биссектриса делит противоположную сторону пополам и образует с ней прямой угол ($90^{\circ}$).

2) Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a = 14 \sqrt{3}$. Биссектриса (она же высота) разбивает наш треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них.

3) В этом прямоугольном треугольнике:
— гипотенуза равна стороне исходного треугольника: $c = 14 \sqrt{3}$;
— один из катетов равен половине стороны (так как биссектриса является медианой): $b = \frac{14 \sqrt{3}}{2} = 7 \sqrt{3}$;
— второй катет — это и есть искомая биссектриса $h$.

4) Воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$h^2 + (7 \sqrt{3})^2 = (14 \sqrt{3})^2$

5) Выполним вычисления:
$(7 \sqrt{3})^2 = 49 \cdot 3 = 147$
$(14 \sqrt{3})^2 = 196 \cdot 3 = 588$

6) Подставим значения в уравнение:
$h^2 + 147 = 588$
$h^2 = 588 - 147$
$h^2 = 441$

7) Найдём значение $h$:
$h = \sqrt{441} = 21$

Альтернативный способ: можно воспользоваться готовой формулой высоты (биссектрисы) равностороннего треугольника: $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$.
Подставим $a = 14 \sqrt{3}$:
$h = \frac{14 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{14 \cdot 3}{2} = 7 \cdot 3 = 21$.

Ответ: 21

Источник: ФИПИ