Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Высоты, на которые поднимается мячик после каждого прыжка, образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$, где $n$ — номер прыжка.

1. По условию задачи, после первого прыжка мячик поднялся на высоту $b_1 = 3,2$ м. Переведём это значение в сантиметры, так как итоговый вопрос задан в сантиметрах:
$b_1 = 3,2 \cdot 100 = 320$ см.

2. Каждый следующий прыжок в два раза меньше предыдущего. Это значит, что знаменатель геометрической прогрессии равен $q = \frac{1}{2} = 0,5$.

3. Нам нужно найти номер прыжка $n$, при котором высота $b_n$ впервые станет меньше 7 см. Будем последовательно вычислять высоты для каждого прыжка:
— 1-й прыжок: $b_1 = 320$ см;
— 2-й прыжок: $b_2 = 320 : 2 = 160$ см;
— 3-й прыжок: $b_3 = 160 : 2 = 80$ см;
— 4-й прыжок: $b_4 = 80 : 2 = 40$ см;
— 5-й прыжок: $b_5 = 40 : 2 = 20$ см;
— 6-й прыжок: $b_6 = 20 : 2 = 10$ см;
— 7-й прыжок: $b_7 = 10 : 2 = 5$ см.

4. Сравним полученные результаты с пороговым значением 7 см:
На 6-м прыжке высота (10 см) всё ещё больше 7 см.
На 7-м прыжке высота (5 см) стала меньше 7 см.

Следовательно, именно при 7-м прыжке мячик впервые не достигнет высоты 7 см.

Ответ: 7

Источник: ФИПИ