Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Для решения задачи проанализируем высоты, на которые поднимается мячик после каждого прыжка. Так как высота каждого следующего прыжка в 3 раза меньше предыдущей, мы имеем дело с геометрической прогрессией.

1. Обозначим высоту после первого прыжка как $b_1 = 4,5$ м.
Знаменатель прогрессии равен $q = \frac{1}{3}$, так как высота уменьшается в три раза.

2. В условии задачи спрашивается, при каком прыжке высота станет меньше 20 см. Переведём все данные в одну систему единиц. Удобнее работать в сантиметрах:
$b_1 = 4,5 \text{ м} = 450 \text{ см}$.
Нам нужно найти такой номер прыжка $n$, при котором $b_n < 20$.

3. Вычислим высоты последовательных прыжков:
— После 1-го прыжка: $b_1 = 450$ см.
— После 2-го прыжка: $b_2 = 450 : 3 = 150$ см.
— После 3-го прыжка: $b_3 = 150 : 3 = 50$ см.
— После 4-го прыжка: $b_4 = 50 : 3 = 16\frac{2}{3}$ см (или примерно $16,67$ см).

4. Сравним полученные значения с порогом в 20 см:
$450 > 20$ (1-й прыжок — выше);
$150 > 20$ (2-й прыжок — выше);
$50 > 20$ (3-й прыжок — выше);
$16,67 < 20$ (4-й прыжок — ниже).

Таким образом, именно при 4-м прыжке мячик впервые не достигнет высоты 20 см.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ