Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

По условию задачи количество мест в рядах амфитеатра увеличивается на одно и то же число. Это означает, что количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию.

Обозначим через $a_n$ количество мест в $n$-м ряду, а через $d$ — разность этой прогрессии (то есть число, на которое увеличивается количество мест в каждом следующем ряду).

Нам известны данные для третьего и седьмого рядов:
$a_3 = 26$
$a_7 = 38$

1) Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Запишем выражения для известных нам членов:
$a_3 = a_1 + 2d = 26$
$a_7 = a_1 + 6d = 38$

2) Чтобы найти разность $d$, вычтем из второго уравнения первое:
$(a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) = 38 - 26$
$4d = 12$
$d = 12 : 4$
$d = 3$
Значит, в каждом следующем ряду на 3 места больше, чем в предыдущем.

3) Теперь найдем количество мест в первом ряду ($a_1$), подставив значение $d$ в уравнение для $a_3$:
$a_1 + 2 \cdot 3 = 26$
$a_1 + 6 = 26$
$a_1 = 26 - 6$
$a_1 = 20$

4) Нам нужно найти количество мест в последнем ряду. Всего в амфитеатре 15 рядов, значит, ищем $a_{15}$:
$a_{15} = a_1 + (15 - 1) \cdot d$
$a_{15} = 20 + 14 \cdot 3$
$a_{15} = 20 + 42$
$a_{15} = 62$

Ответ: 62

Источник: ФИПИ