Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием геометрической прогрессии, так как масса изотопа уменьшается в одинаковое количество раз за равные промежутки времени.

1. Определим количество периодов распада. По условию масса уменьшается вдвое каждые $6$ минут. Нам нужно узнать, что произойдет через $42$ минуты.
Разделим общее время на длительность одного периода:
$n = 42 : 6 = 7$.
Это означает, что масса изотопа будет уменьшаться вдвое $7$ раз.

2. Составим последовательность изменений массы.
Пусть $b_1 = 640$ мг — начальная масса изотопа.
Через $6$ минут (1-й период) масса станет $b_2$, через $12$ минут (2-й период) — $b_3$, и так далее.
Нам нужно найти массу после $7$-го периода, то есть $8$-й член геометрической прогрессии $b_8$.

3. Знаменатель геометрической прогрессии равен $q = \frac{1}{2}$ (или $0,5$), так как масса каждый раз уменьшается вдвое.

4. Используем формулу $n$-го члена геометрической прогрессии:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
В нашем случае $n = 8$, так как начальный момент — это первый член, а после 7 делений мы получим восьмой член:
$b_8 = 640 \cdot (\frac{1}{2})^{8-1} = 640 \cdot (\frac{1}{2})^7$.

5. Вычислим значение:
$(\frac{1}{2})^7 = \frac{1}{128}$.
$b_8 = 640 \cdot \frac{1}{128} = \frac{640}{128}$.
Разделим $640$ на $128$:
$640 : 128 = 5$.

Таким образом, через $42$ минуты масса изотопа составит $5$ мг.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ