Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим квадрат. По определению, у квадрата все стороны равны, а углы прямые (равны $90^{\circ}$). Пусть сторона квадрата будет $a$, тогда по условию $a = 4\sqrt{2}$.

2. Диагональ квадрата (обозначим её $d$) делит его на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников диагональ является гипотенузой, а стороны квадрата — катетами.

3. Для нахождения диагонали воспользуемся теоремой Пифагора: «Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы». Запишем формулу для нашего случая:
$d^2 = a^2 + a^2$
$d^2 = 2a^2$

4. Подставим известное значение стороны $a = 4\sqrt{2}$ в уравнение:
$d^2 = 2 \cdot (4\sqrt{2})^2$

5. Выполним возведение в квадрат. Помним, что при возведении произведения в степень, в эту степень возводится каждый множитель:
$(4\sqrt{2})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$

6. Теперь найдем $d^2$:
$d^2 = 2 \cdot 32 = 64$

7. Чтобы найти саму диагональ $d$, извлечем квадратный корень из полученного числа:
$d = \sqrt{64} = 8$

Замечание: Также можно было воспользоваться готовой формулой диагонали квадрата $d = a\sqrt{2}$. Тогда $d = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ