Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся формулами сокращённого умножения и свойствами корня.

Шаг 1. Преобразование подкоренного выражения.
Заметим, что выражение под корнем $a^{2} + 4ab + 4b^{2}$ представляет собой квадрат суммы. Вспомним формулу: $(x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$.
В нашем случае:
$a^{2}$ — это квадрат первого числа $a$;
$4b^{2}$ — это квадрат второго числа $2b$, так как $(2b)^{2} = 4b^{2}$;
$4ab$ — это их удвоенное произведение: $2 \cdot a \cdot 2b = 4ab$.
Следовательно: $a^{2} + 4ab + 4b^{2} = (a + 2b)^{2}$.

Шаг 2. Упрощение выражения с корнем.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$\sqrt{a^{2} + 4ab + 4b^{2}} = \sqrt{(a + 2b)^{2}}$.
По свойству арифметического квадратного корня $\sqrt{x^{2}} = |x|$. Значит:
$\sqrt{(a + 2b)^{2}} = |a + 2b|$.

Шаг 3. Подстановка числовых значений.
Подставим в полученный модуль значения $a = 2$ и $b = -4$:
$|2 + 2 \cdot (-4)| = |2 - 8| = |-6|$.

Шаг 4. Вычисление модуля.
Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу:
$|-6| = 6$.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ