Задание №15 — Геометрия

Решение.

1. Вспомним свойства равностороннего (правильного) треугольника. В таком треугольнике все стороны равны, а медиана, проведённая к стороне, также является высотой и биссектрисой. На рисунке изображён равносторонний треугольник с проведённой медианой, которая делит основание пополам и образует с ним прямой угол.

2. Пусть сторона треугольника равна $a = 12\sqrt{3}$. Медиана разбивает треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них.

3. В этом прямоугольном треугольнике:
— гипотенуза равна стороне исходного треугольника: $c = a = 12\sqrt{3}$;
— один из катетов равен половине стороны (так как медиана делит сторону пополам): $b = \frac{a}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$;
— второй катет — это и есть искомая медиана $m$.

4. Воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотензы.
$m^2 + (6\sqrt{3})^2 = (12\sqrt{3})^2$

5. Выполним возведение в квадрат:
$(6\sqrt{3})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$
$(12\sqrt{3})^2 = 12^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 144 \cdot 3 = 432$

6. Подставим значения в уравнение:
$m^2 + 108 = 432$
$m^2 = 432 - 108$
$m^2 = 324$

7. Найдём значение $m$, извлекая корень из $324$:
$m = \sqrt{324} = 18$

Замечание: Также можно было воспользоваться готовой формулой высоты (медианы) равностороннего треугольника: $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Подставив $a = 12\sqrt{3}$, получим: $m = \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{12 \cdot 3}{2} = \frac{36}{2} = 18$.

Ответ: 18

Источник: ФИПИ