Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного выражения воспользуемся свойствами квадратных корней.

Шаг 1. Применим свойство произведения корней: произведение корней равно корню из произведения подкоренных выражений. Запишем всё под один знак корня:
$\sqrt{7 \cdot 45} \cdot \sqrt{35} = \sqrt{7 \cdot 45 \cdot 35}$.

Шаг 2. Чтобы не перемножать большие числа, разложим числа $45$ и $35$ на простые множители:
— Число $45$ можно представить как $9 \cdot 5$, а так как $9 = 3^2$, то $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$.
— Число $35$ можно представить как $7 \cdot 5$.

Шаг 3. Подставим разложения в наше выражение под корнем:
$\sqrt{7 \cdot (3 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (7 \cdot 5)}$.

Шаг 4. Сгруппируем одинаковые множители парами, чтобы было удобно извлекать корень:
$\sqrt{(7 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 5)} = \sqrt{7^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2}$.

Шаг 5. Извлечём корень из каждого квадрата (напомним, что $\sqrt{a^2} = a$ при $a > 0$):
$\sqrt{7^2} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^2} = 7 \cdot 3 \cdot 5$.

Шаг 6. Выполним итоговое умножение:
$7 \cdot 3 = 21$;
$21 \cdot 5 = 105$.

Ответ: 105

Источник: ФИПИ