Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала упростим выражение под корнем. Заметим, что выражение $16a^2 + 8ab + b^2$ представляет собой квадрат суммы. Вспомним формулу сокращённого умножения: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

2. Сопоставим наше выражение с формулой:
— Первый член: $16a^2 = (4a)^2$;
— Последний член: $b^2$;
— Средний член: $8ab = 2 \cdot (4a) \cdot b$.
Следовательно, $16a^2 + 8ab + b^2 = (4a + b)^2$.

3. Подставим это в исходное выражение: $\sqrt{(4a + b)^2}$.
По свойству корня $\sqrt{x^2} = |x|$, наше выражение равно $|4a + b|$.

4. Теперь подставим числовые значения $a = \frac{3}{11}$ и $b = 5 \frac{10}{11}$ в полученное выражение. Сначала переведём смешанное число $b$ в неправильную дробь:
$b = 5 \frac{10}{11} = \frac{5 \cdot 11 + 10}{11} = \frac{55 + 10}{11} = \frac{65}{11}$.

5. Вычислим значение суммы внутри модуля:
$4a + b = 4 \cdot \frac{3}{11} + \frac{65}{11} = \frac{12}{11} + \frac{65}{11} = \frac{12 + 65}{11} = \frac{77}{11}$.

6. Сократим дробь:
$\frac{77}{11} = 7$.

7. Так как число $7$ положительное, то $|7| = 7$.

Ответ: 7

Источник: ФИПИ