Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Для решения задачи проанализируем высоты, на которые поднимается мячик после каждого прыжка. Эти значения образуют геометрическую прогрессию, так как каждая следующая высота в 3 раза меньше предыдущей.

1. Обозначим высоту после первого прыжка как $b_1 = 5,4$ м.
Поскольку в условии спрашивается про высоту в сантиметрах, переведём метры в сантиметры:
$b_1 = 5,4 \cdot 100 = 540$ см.

2. Знаменатель геометрической прогрессии $q$ показывает, во сколько раз изменяется высота. Так как высота уменьшается в 3 раза, то $q = \frac{1}{3}$.

3. Нам нужно найти номер прыжка $n$, при котором высота $b_n$ впервые станет меньше 10 см. Формула $n$-го члена геометрической прогрессии:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

4. Будем последовательно вычислять высоты для каждого прыжка:
- После 1-го прыжка: $b_1 = 540$ см.
- После 2-го прыжка: $b_2 = 540 : 3 = 180$ см.
- После 3-го прыжка: $b_3 = 180 : 3 = 60$ см.
- После 4-го прыжка: $b_4 = 60 : 3 = 20$ см.
- После 5-го прыжка: $b_5 = 20 : 3 \approx 6,67$ см.

5. Сравним полученные результаты с пороговым значением 10 см:
На 4-м прыжке высота (20 см) всё ещё больше 10 см.
На 5-м прыжке высота (примерно 6,67 см) становится меньше 10 см.

Таким образом, именно при 5-м прыжке мячик впервые не достигнет высоты 10 см.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ