Задание 17

Четырёхугольники и многоугольники · 357 заданий

Задание №17
№17Лёгкое
Один из углов прямоугольной трапеции равен 64°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 22, BD = 24, AB = 3. Найдите DO.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Сторона квадрата равна 11 √(2). Найдите диагональ этого квадрата.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
Основания трапеции равны 1 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
Сторона ромба равна 34, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Основания трапеции равны 8 и 18, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Основания трапеции равны 11 и 19, а высота равна 9. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Один из углов равнобедренной трапеции равен 131°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 33°. Ответ дайте в градусах.
Многоугольники
Задание №17
№17Среднее
Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25° и 30°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Многоугольники
Задание №17
№17Лёгкое
Основания трапеции равны 1 и 5, а высота равна 3. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Многоугольники

Задание №17 — Геометрия

Точка $O$ является серединой стороны $C D$ квадрата $A B C D$ . Радиус окружности с центром в точке $O$ , проходящей через вершину $A$ , равен $2 \sqrt{5}$ . Найдите площадь квадрата $A B C D$ .

Правильный ответ

Пояснение

Решение.

1. Пусть сторона квадрата $A B C D$ равна $a$ . Тогда все его стороны равны: $A B = B C = C D = A D = a$ . Все углы квадрата прямые, то есть $\angle A D C = 90^\circ$ .

2. По условию точка $O$ является серединой стороны $C D$ . Следовательно, отрезок $O D$ равен половине стороны квадрата: $O D = \frac{a}{2}$ .

3. Окружность с центром в точке $O$ проходит через вершину $A$ . Это означает, что отрезок $O A$ является радиусом этой окружности. По условию радиус $R = 2 \sqrt{5}$ , значит, $O A = 2 \sqrt{5}$ .

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A D O$ (угол $D$ прямой). В этом треугольнике $A D$ и $O D$ — катеты, а $O A$ — гипотенуза. Применим теорему Пифагора: $A D^2 + O D^2 = O A^2$ .

5. Подставим известные значения через $a$ : $a^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 = (2 \sqrt{5})^2$ .

6. Выполним возведение в степень: $a^2 + \frac{a^2}{4} = 4 \cdot 5$ , $a^2 + 0,25 a^2 = 20$ , $1,25 a^2 = 20$ .

7. Найдем значение $a^2$ : $a^2 = \frac{20}{1,25}$ , $a^2 = \frac{2000}{125}$ , $a^2 = 16$ .

8. Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле $S = a^2$ . Мы уже нашли, что $a^2 = 16$ , следовательно, площадь квадрата равна $16$ .

Ответ: 16

Источник: ФИПИ