Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Пусть сторона квадрата $A B C D$ равна $a$. Тогда все его стороны равны: $A B = B C = C D = A D = a$. Все углы квадрата прямые, то есть $\angle A D C = 90^\circ$.

2. По условию точка $O$ является серединой стороны $C D$. Следовательно, отрезок $O D$ равен половине стороны квадрата: $O D = \frac{a}{2}$.

3. Окружность с центром в точке $O$ проходит через вершину $A$. Это означает, что отрезок $O A$ является радиусом этой окружности. По условию радиус $R = 2 \sqrt{5}$, значит, $O A = 2 \sqrt{5}$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A D O$ (угол $D$ прямой). В этом треугольнике $A D$ и $O D$ — катеты, а $O A$ — гипотенуза. Применим теорему Пифагора: $A D^2 + O D^2 = O A^2$.

5. Подставим известные значения через $a$: $a^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 = (2 \sqrt{5})^2$.

6. Выполним возведение в степень: $a^2 + \frac{a^2}{4} = 4 \cdot 5$, $a^2 + 0,25 a^2 = 20$, $1,25 a^2 = 20$.

7. Найдем значение $a^2$: $a^2 = \frac{20}{1,25}$, $a^2 = \frac{2000}{125}$, $a^2 = 16$.

8. Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле $S = a^2$. Мы уже нашли, что $a^2 = 16$, следовательно, площадь квадрата равна $16$.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ