Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Для решения задачи проанализируем условие. Расстояние, которое проезжает автомобиль каждую секунду, уменьшается на одну и ту же величину. Это означает, что последовательность расстояний является арифметической прогрессией.

1) Обозначим через $a_1$ расстояние, пройденное за первую секунду: $a_1 = 24$.
Разность арифметической прогрессии $d = -8$, так как каждую следующую секунду автомобиль проезжает на 8 метров меньше.

2) Найдём количество секунд $n$, которое автомобиль двигался до полной остановки. В последнюю секунду движения автомобиль должен проехать положительное расстояние, а затем его скорость станет равной нулю.
Выясним, через сколько секунд значение $a_n$ станет равным или максимально близким к нулю. Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + d(n - 1)$
Подставим значения и найдём $n$, при котором $a_n > 0$:
$24 + (-8)(n - 1) > 0$
$24 - 8n + 8 > 0$
$32 - 8n > 0$
$8n < 32$
$n < 4$

Это означает, что автомобиль двигался 3 полных секунды, а на 4-ю секунду его скорость стала равна 0 (так как $a_4 = 24 - 8(4-1) = 24 - 24 = 0$). Таким образом, процесс торможения занял 3 секунды активного движения (на 4-й секунде перемещение уже равно 0).

3) Рассчитаем путь за каждую секунду:
За 1-ю секунду: $a_1 = 24$ м.
За 2-ю секунду: $a_2 = 24 - 8 = 16$ м.
За 3-ю секунду: $a_3 = 16 - 8 = 8$ м.
За 4-ю секунду: $a_4 = 8 - 8 = 0$ м (остановка).

4) Найдём общий путь $S$, сложив расстояния за все секунды движения:
$S = a_1 + a_2 + a_3$
$S = 24 + 16 + 8 = 48$ м.

Также можно воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии для $n = 3$:
$S_3 = \frac{a_1 + a_3}{2} \cdot 3 = \frac{24 + 8}{2} \cdot 3 = \frac{32}{2} \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$ м.

Ответ: 48

Источник: ФИПИ