Задание №17 — Геометрия

Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, где $BC$ — меньшее основание, а $AD$ — большее основание. Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$.

1) По условию задачи высота $CH$ делит большее основание $AD$ на два отрезка. На рисунке видно, что точка $H$ лежит ближе к правому углу трапеции. Значит, меньший отрезок $HD = 4$, а больший отрезок $AH = 7$.

2) Вспомним важное свойство равнобедренной трапеции: если провести две высоты из вершин меньшего основания (пусть это будут $BK$ и $CH$), то они отсекут на большем основании два равных прямоугольных треугольника ($\triangle ABK = \triangle DCH$). Следовательно, отрезки, "отсекаемые" высотами по краям, равны: $AK = HD = 4$.

3) Отрезок $AH$, длина которого по условию равна $7$, состоит из двух частей: $AK$ и $KH$. То есть:
$AH = AK + KH$.
Подставим известные значения:
$7 = 4 + KH$, откуда $KH = 7 - 4 = 3$.

4) Четырёхугольник $KBCH$ является прямоугольником (так как $BC \parallel KH$ и $BK \perp AD$, $CH \perp AD$). У прямоугольника противоположные стороны равны, значит, меньшее основание $BC$ равно отрезку $KH$:
$BC = KH = 3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ