Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Пусть сторона квадрата $A B C D$ равна $a$. Тогда все его стороны равны: $A B = B C = C D = A D = a$. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.

2. По условию точка $O$ является серединой стороны $C D$. Следовательно, отрезок $O D$ равен половине стороны квадрата: $O D = \frac{a}{2}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A D O$. Угол $D$ в нём прямой, так как $A B C D$ — квадрат. Катетами этого треугольника являются сторона квадрата $A D = a$ и отрезок $O D = \frac{a}{2}$.

4. Гипотенузой треугольника $A D O$ является отрезок $O A$. Так как окружность с центром в точке $O$ проходит через вершину $A$, то отрезок $O A$ является радиусом этой окружности. По условию $R = O A = 0,5$.

5. Применим теорему Пифагора для треугольника $A D O$:
$A D^2 + O D^2 = O A^2$
Подставим известные значения через $a$:
$a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 0,5^2$

6. Решим полученное уравнение:
$a^2 + \frac{a^2}{4} = 0,25$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{4a^2 + a^2}{4} = 0,25$
$\frac{5a^2}{4} = 0,25$
Умножим обе части уравнения на 4:
$5a^2 = 1$
Отсюда находим квадрат стороны: $a^2 = \frac{1}{5}$.

7. Так как площадь квадрата $S = a^2$, то:
$S = \frac{1}{5} = 0,2$.

Ответ: 0,2

Источник: ФИПИ