Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Пусть сторона квадрата $A B C D$ равна $a$. Тогда все его стороны равны: $A B = B C = C D = A D = a$. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.

2. По условию точка $O$ является серединой стороны $C D$. Значит, отрезок $O D$ равен половине стороны квадрата: $O D = \frac{a}{2}$.

3. Рассмотрим треугольник $A D O$. Так как $A B C D$ — квадрат, угол $D$ равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $A D O$ является прямоугольным.

4. В этом треугольнике катет $A D = a$, а катет $O D = \frac{a}{2}$. Гипотенузой является отрезок $A O$. По условию окружность с центром в точке $O$ проходит через вершину $A$, значит, отрезок $A O$ — это радиус окружности. Нам дано, что $R = 1$, то есть $A O = 1$.

5. Применим теорему Пифагора для треугольника $A D O$:
$A D^2 + O D^2 = A O^2$
Подставим известные значения через $a$:
$a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 1^2$

6. Решим полученное уравнение:
$a^2 + \frac{a^2}{4} = 1$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{4a^2 + a^2}{4} = 1$
$\frac{5a^2}{4} = 1$

7. Выразим $a^2$:
$5a^2 = 4$
$a^2 = \frac{4}{5}$
$a^2 = 0,8$

8. Так как площадь квадрата $S = a^2$, то $S = 0,8$.

Ответ: 0,8

Источник: ФИПИ