Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Разберем условие задачи. Расстояния, которые автомобиль проезжает за каждую секунду, образуют убывающую арифметическую прогрессию, так как в каждую следующую секунду путь уменьшается на одно и то же число.

1. Выпишем известные данные:
Первый член прогрессии $a_1 = 45$ (путь за первую секунду).
Разность прогрессии $d = -9$ (так как путь уменьшается на 9 метров каждую секунду).
Последний член прогрессии $a_n$ должен быть равен такому минимальному положительному значению, после которого движение прекращается. Поскольку автомобиль останавливается, его скорость (и путь за секунду) в итоге станет равной нулю.

2. Найдем количество секунд $n$, в течение которых автомобиль двигался до остановки. Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$
В момент остановки путь за последнюю секунду станет равен 0 (или мы ищем номер последнего шага, где путь еще положителен):
$0 = 45 + (n - 1) \cdot (-9)$
$0 = 45 - 9n + 9$
$9n = 54$
$n = 6$
Значит, торможение длилось 6 секунд.

3. Чтобы найти общий путь, пройденный до полной остановки, нужно найти сумму первых 6 членов этой прогрессии. Воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим наши значения $a_1 = 45$, $a_6 = 0$ и $n = 6$:
$S_6 = \frac{45 + 0}{2} \cdot 6$
$S_6 = \frac{45}{2} \cdot 6$
$S_6 = 45 \cdot 3$
$S_6 = 135$

Таким образом, автомобиль проехал 135 метров до полной остановки.

Ответ: 135

Источник: ФИПИ