Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Проанализируем условие задачи. Расстояние, которое проезжает автомобиль каждую секунду, уменьшается на одну и ту же величину. Это означает, что последовательность расстояний за каждую секунду является арифметической прогрессией.

1. Выпишем известные данные:
Первый член прогрессии $a_1 = 16$ (путь за первую секунду).
Разность прогрессии $d = -4$, так как путь каждую секунду уменьшается на $4$ метра.

2. Автомобиль движется до полной остановки. Это значит, что в последнюю секунду движения он проедет какое-то положительное расстояние, а в следующую теоретическую секунду его скорость (и путь) станут равны нулю или меньше. Найдём количество секунд $n$, в течение которых автомобиль двигался.
Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n - 1)$.
Так как автомобиль останавливается, $a_n$ должно быть последним положительным значением перед нулём. Решим уравнение $a_n = 0$, чтобы понять, когда движение прекратится:
$16 + (-4)(n - 1) = 0$
$16 - 4n + 4 = 0$
$20 - 4n = 0$
$4n = 20$
$n = 5$.
Это означает, что на 5-й секунде автомобиль проедет $a_5 = 16 - 4(5 - 1) = 0$ метров. То есть фактически движение длилось 4 полных секунды, а на 5-й секунде он уже стоял (или 5-я секунда была моментом окончательной остановки).

3. Найдём общий путь, пройденный автомобилем. Общий путь — это сумма всех расстояний за каждую секунду движения. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Для $n = 5$:
$S_5 = \frac{16 + 0}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{16}{2} \cdot 5$
$S_5 = 8 \cdot 5 = 40$.

4. Проверим результат простым сложением по секундам:
1-я секунда: $16$ м
2-я секунда: $16 - 4 = 12$ м
3-я секунда: $12 - 4 = 8$ м
4-я секунда: $8 - 4 = 4$ м
5-я секунда: $4 - 4 = 0$ м
Итого: $16 + 12 + 8 + 4 + 0 = 40$ метров.

Ответ: 40

Источник: ФИПИ