Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Для решения задачи проанализируем условие. Расстояние, которое автомобиль проезжает за каждую секунду, уменьшается на одно и то же число. Это означает, что последовательность расстояний является арифметической прогрессией.

Выпишем известные данные:
1) Первый член прогрессии $a_1 = 24$ (расстояние за первую секунду).
2) Разность прогрессии $d = -3$, так как каждую следующую секунду автомобиль проезжает на 3 метра меньше.
3) В момент полной остановки расстояние, пройденное за последнюю секунду, должно стать минимально возможным положительным числом, стремящимся к нулю, либо мы можем найти количество секунд $n$, через которое скорость (и путь за секунду) станет равной $0$.

Найдём количество секунд $n$, в течение которых автомобиль двигался до остановки. Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + d(n - 1)$
Поскольку в последнюю секунду движения автомобиль останавливается, примем $a_n = 0$ (это будет момент затихания движения):
$0 = 24 + (-3) \cdot (n - 1)$
$0 = 24 - 3n + 3$
$3n = 27$
$n = 9$
Значит, торможение длилось 9 секунд.

Теперь найдём общее расстояние, пройденное автомобилем до полной остановки. Это сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим наши значения $a_1 = 24$, $a_9 = 0$ и $n = 9$:
$S_9 = \frac{24 + 0}{2} \cdot 9$
$S_9 = \frac{24}{2} \cdot 9$
$S_9 = 12 \cdot 9$
$S_9 = 108$

Таким образом, до полной остановки автомобиль прошёл 108 метров.

Ответ: 108

Источник: ФИПИ