Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) По условию задачи трапеция $ABCD$ является равнобедренной ($AB = CD$). Одно из главных свойств равнобедренной трапеции заключается в том, что углы при её основаниях равны. Следовательно, угол при большем основании $A$ равен углу при основании $D$:
$\angle A = \angle D = 73^\circ$.

2) Весь угол $A$ состоит из двух частей: угла $BAC$, который образует диагональ с боковой стороной, и угла $CAD$, который образует диагональ с бóльшим основанием. По условию $\angle BAC = 19^\circ$. Найдём угол $CAD$:
$\angle CAD = \angle A - \angle BAC = 73^\circ - 19^\circ = 54^\circ$.

3) Основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны по определению. Диагональ $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.
Угол между диагональю и меньшим основанием — это угол $BCA$. Он является накрест лежащим по отношению к углу $CAD$.
Следовательно, $\angle BCA = \angle CAD = 54^\circ$.

Ответ: 54

Источник: ФИПИ