Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Для решения задачи проанализируем условие. Расстояние, которое проезжает автомобиль каждую секунду, уменьшается на одно и то же число. Это означает, что последовательность расстояний является арифметической прогрессией.

1. Выпишем известные данные:
— Расстояние за первую секунду: $a_1 = 20$ м.
— Разность прогрессии (на сколько уменьшается путь каждую секунду): $d = -4$ м (так как расстояние становится меньше).
— Время движения: $n = 4$ секунды.

2. Нам нужно найти общее расстояние, пройденное за первые 4 секунды. Это сумма первых четырёх членов арифметической прогрессии $S_4$.

3. Сначала найдём расстояние, пройденное за каждую из четырёх секунд по отдельности:
— 1-я секунда: $a_1 = 20$ м.
— 2-я секунда: $a_2 = 20 - 4 = 16$ м.
— 3-я секунда: $a_3 = 16 - 4 = 12$ м.
— 4-я секунда: $a_4 = 12 - 4 = 8$ м.

4. Теперь сложим эти расстояния, чтобы найти общий путь:
$S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$
$S_4 = 20 + 16 + 12 + 8$

5. Выполним сложение:
$20 + 16 = 36$
$36 + 12 = 48$
$48 + 8 = 56$

Также можно было воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$
$S_4 = \frac{2 \cdot 20 + (-4) \cdot (4 - 1)}{2} \cdot 4 = \frac{40 - 12}{2} \cdot 4 = \frac{28}{2} \cdot 4 = 14 \cdot 4 = 56$.

Таким образом, за первые 4 секунды автомобиль прошёл 56 метров.

Ответ: 56

Источник: ФИПИ