Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Проанализируем условие задачи. Расстояние, которое поезд проходит за каждую последующую секунду, увеличивается на одну и ту же величину. Это означает, что последовательность расстояний, пройденных за каждую секунду, является арифметической прогрессией.

Выпишем известные данные:
1) Первый член прогрессии $a_1 = 0,9$ (расстояние за первую секунду).
2) Разность прогрессии $d = 0,3$ (на сколько метров увеличивается путь каждую секунду).
3) Количество секунд $n = 10$.
Нам нужно найти общее расстояние, пройденное за 10 секунд, то есть сумму первых десяти членов прогрессии $S_{10}$.

Для решения воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$

Подставим наши значения в формулу:
$S_{10} = \frac{2 \cdot 0,9 + 0,3 \cdot (10 - 1)}{2} \cdot 10$

Выполним вычисления по шагам:
1) Найдём значение в скобках: $10 - 1 = 9$.
2) Умножим разность на этот результат: $0,3 \cdot 9 = 2,7$.
3) Найдём удвоенный первый член: $2 \cdot 0,9 = 1,8$.
4) Сложим полученные числа в числителе: $1,8 + 2,7 = 4,5$.
5) Теперь подставим результат в дробь: $S_{10} = \frac{4,5}{2} \cdot 10$.
6) Удобнее сначала умножить на 10, а потом разделить на 2: $4,5 \cdot 10 = 45$.
7) Окончательный расчет: $45 : 2 = 22,5$.

Таким образом, за первые 10 секунд поезд прошёл 22,5 метра.

Ответ: 22,5

Источник: ФИПИ