Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Проанализируем условие задачи. Расстояние, которое автомобиль проезжает за каждую секунду, уменьшается на одну и ту же величину. Это означает, что последовательность расстояний является арифметической прогрессией.

1. Выпишем известные данные:
Первый член прогрессии $a_1 = 16$ (путь за первую секунду).
Разность прогрессии $d = -2$, так как каждую следующую секунду автомобиль проезжает на 2 метра меньше.

2. Определим, сколько секунд длилось торможение до полной остановки. В момент остановки скорость (и путь за последнюю секунду) становится равной нулю. Найдём номер последнего члена прогрессии $n$, при котором $a_n$ ещё больше нуля или равно ему.
Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + d(n - 1)$
Подставим значения и приравняем к нулю:
$16 + (-2)(n - 1) = 0$
$16 - 2n + 2 = 0$
$18 - 2n = 0$
$2n = 18$
$n = 9$
Значит, автомобиль двигался 9 секунд (в последнюю, 9-ю секунду он прошёл $a_9 = 16 - 2 \cdot 8 = 0$ метров, что соответствует моменту остановки).

3. Чтобы найти общий путь до остановки, нужно вычислить сумму первых 9 членов этой прогрессии. Воспользуемся формулой суммы:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим наши значения:
$S_9 = \frac{16 + 0}{2} \cdot 9$
$S_9 = \frac{16}{2} \cdot 9$
$S_9 = 8 \cdot 9$
$S_9 = 72$

Таким образом, автомобиль прошёл 72 метра до полной остановки.

Ответ: 72

Источник: ФИПИ