Задание №22 — Функции

Решение.

Данная функция кусочно-заданная. Построим её график по частям.

1. Часть $y = -x^{2} + 2x + 3$ при $x \geq -1$.
Это часть параболы, ветви направлены вниз. Вершина: $x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$, $y_0 = -1 + 2 + 3 = 4$, то есть $(1; 4)$.
Нули: $-x^{2}+2x+3=0 \Rightarrow x^{2}-2x-3=0 \Rightarrow x = -1$ или $x = 3$, то есть парабола проходит через $(-1; 0)$ и $(3; 0)$.
На границе $y(-1) = 0$; точка $(-1; 0)$ принадлежит графику. Часть параболы идёт от $(-1; 0)$ вверх к вершине $(1; 4)$, затем вниз к $-\infty$.

2. Часть $y = -x + 1$ при $x < -1$.
Это луч. При $x = -2$ имеем $y = 3$. При $x = -1$ получилось бы $y = 2$, но неравенство строгое, поэтому точка $(-1; 2)$ «выколотая». Луч идёт из выколотой точки $(-1; 2)$ влево-вверх, принимая все значения $y > 2$.

3. Число общих точек с прямой $y = m$ (снизу вверх):
— при $m < 0$: только правая (нисходящая) ветвь параболы — 1 точка;
— при $m = 0$: парабола в точках $(-1; 0)$ и $(3; 0)$, луч не задет ($m \leq 2$) — 2 точки;
— при $0 < m < 2$: две ветви параболы, луч ещё не задет — 2 точки;
— при $m = 2$: две ветви параболы, а луч проходит через выколотую точку $(-1; 2)$, пересечения там нет — 2 точки;
— при $2 < m < 4$: две ветви параболы и луч — 3 точки;
— при $m = 4$: вершина параболы (1 точка) и луч (1 точка) — 2 точки;
— при $m > 4$: только луч — 1 точка.

Таким образом, ровно две общие точки получаются при $0 \leq m \leq 2$ и при $m = 4$.

Ответ: $0 \leq m \leq 2$; $m = 4$.