Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость моторной лодки в неподвижной воде. По условию задачи скорость течения реки равна $1$ км/ч. Тогда:

1) Скорость лодки по течению реки равна $(x + 1)$ км/ч.
2) Скорость лодки против течения реки равна $(x - 1)$ км/ч.

Лодка прошла $255$ км в каждом направлении. Выразим время, затраченное на каждый путь:
— Время на путь против течения: $t_1 = \frac{255}{x - 1}$ ч.
— Время на путь по течению: $t_2 = \frac{255}{x + 1}$ ч.

По условию задачи на обратный путь (по течению) лодка затратила на $2$ часа меньше, чем на путь против течения. Составим уравнение:
$\frac{255}{x - 1} - \frac{255}{x + 1} = 2$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 1)(x + 1)$, учитывая, что $x > 1$:
$\frac{255(x + 1) - 255(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = 2$
$\frac{255x + 255 - 255x + 255}{x^2 - 1} = 2$
$\frac{510}{x^2 - 1} = 2$

Разделим обе части уравнения на $2$:
$\frac{255}{x^2 - 1} = 1$
$x^2 - 1 = 255$
$x^2 = 256$

Решим полученное уравнение:
$x_1 = 16$
$x_2 = -16$

Так как скорость лодки не может быть отрицательной, нам подходит только значение $x = 16$. Проверим условие $x > 1$: $16 > 1$, корень подходит.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ