Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $v$ км/ч — скорость первого автомобиля. По условию задачи $v > 40$.
Пусть $S$ — всё расстояние между пунктами А и В. Тогда время, затраченное первым автомобилем на весь путь, равно $t_1 = \frac{S}{v}$.

Второй автомобиль проехал первую половину пути ($\frac{S}{2}$) со скоростью $v - 11$ км/ч. Время на этом участке составило $t_{2.1} = \frac{S}{2(v - 11)}$.
Вторую половину пути ($\frac{S}{2}$) он проехал со скоростью $66$ км/ч. Время на этом участке составило $t_{2.2} = \frac{S}{2 \cdot 66} = \frac{S}{132}$.

Так как автомобили прибыли в пункт В одновременно, их общее время в пути равно:
$\frac{S}{v} = \frac{S}{2(v - 11)} + \frac{S}{132}$

Разделим обе части уравнения на $S$ (так как $S \neq 0$):
$\frac{1}{v} = \frac{1}{2(v - 11)} + \frac{1}{132}$

Приведём дроби в правой части к общему знаменателю $132(v - 11)$:
$\frac{1}{v} = \frac{66 + (v - 11)}{132(v - 11)}$
$\frac{1}{v} = \frac{v + 55}{132v - 1452}$

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$132v - 1452 = v(v + 55)$
$132v - 1452 = v^2 + 55v$
Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$v^2 - 77v + 1452 = 0$

Найдём дискриминант уравнения:
$D = (-77)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1452 = 5929 - 5808 = 121$
$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$

Найдём корни уравнения:
$v_1 = \frac{77 + 11}{2} = \frac{88}{2} = 44$
$v_2 = \frac{77 - 11}{2} = \frac{66}{2} = 33$

По условию задачи скорость первого автомобиля больше $40$ км/ч. Следовательно, корень $v_2 = 33$ не подходит, а корень $v_1 = 44$ удовлетворяет условию.

Ответ: 44

Источник: ФИПИ