Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ деталей в час — производительность второго рабочего (то есть количество деталей, которые он делает за один час). Тогда, согласно условию задачи, производительность первого рабочего равна $x + 9$ деталей в час.

Оба рабочих выполняют заказ объёмом 216 деталей. Выразим время, затраченное каждым рабочим на выполнение этого заказа:
1) Время второго рабочего: $t_2 = \frac{216}{x}$ часов.
2) Время первого рабочего: $t_1 = \frac{216}{x + 9}$ часов.

По условию задачи первый рабочий выполняет заказ на 4 часа быстрее, чем второй. Это значит, что разница между временем второго и первого рабочего равна 4 часам. Составим уравнение:
$\frac{216}{x} - \frac{216}{x + 9} = 4$

Для удобства разделим обе части уравнения на 4:
$\frac{54}{x} - \frac{54}{x + 9} = 1$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 9)$:
$\frac{54(x + 9) - 54x}{x(x + 9)} = 1$
$\frac{54x + 486 - 54x}{x^2 + 9x} = 1$
$\frac{486}{x^2 + 9x} = 1$

Перейдём к квадратному уравнению (учитывая, что $x > 0$):
$x^2 + 9x = 486$
$x^2 + 9x - 486 = 0$

Решим полученное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-486) = 81 + 1944 = 2025$
$\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-9 + 45}{2} = \frac{36}{2} = 18$
$x_2 = \frac{-9 - 45}{2} = \frac{-54}{2} = -27$

Так как производительность рабочего не может быть отрицательной величиной, корень $x = -27$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, второй рабочий делает 18 деталей в час.

Ответ: 18

Источник: ФИПИ