Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость первого автомобиля. По условию задачи $x > 75$.
Пусть $S$ — расстояние между пунктами А и В. Тогда время, затраченное первым автомобилем на весь путь, равно $\frac{S}{x}$ часов.

Второй автомобиль проехал первую половину пути ($\frac{S}{2}$) со скоростью $x - 8$ км/ч. Время на этом участке составило $\frac{S}{2(x - 8)}$ часов.
Вторую половину пути ($\frac{S}{2}$) он проехал со скоростью $90$ км/ч. Время на этом участке составило $\frac{S}{2 \cdot 90} = \frac{S}{180}$ часов.

Так как автомобили прибыли в пункт В одновременно, их общее время в пути совпадает. Составим уравнение:
$\frac{S}{x} = \frac{S}{2(x - 8)} + \frac{S}{180}$

Разделим обе части уравнения на $S$ (так как $S \neq 0$):
$\frac{1}{x} = \frac{1}{2(x - 8)} + \frac{1}{180}$

Приведём дроби в правой части к общему знаменателю $180(x - 8)$:
$\frac{1}{x} = \frac{90 + (x - 8)}{180(x - 8)}$
$\frac{1}{x} = \frac{x + 82}{180x - 1440}$

Воспользуемся основным свойством пропорции:
$180x - 1440 = x(x + 82)$
$180x - 1440 = x^2 + 82x$
Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 98x + 1440 = 0$

Решим уравнение через дискриминант:
$D = (-98)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1440 = 9604 - 5760 = 3844$
$\sqrt{D} = \sqrt{3844} = 62$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{98 + 62}{2} = \frac{160}{2} = 80$
$x_2 = \frac{98 - 62}{2} = \frac{36}{2} = 18$

По условию задачи скорость первого автомобиля больше $75$ км/ч. Следовательно, корень $x_2 = 18$ не подходит, а корень $x_1 = 80$ удовлетворяет условию.

Ответ: 80

Источник: ФИПИ