Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ литров в минуту — скорость наполнения (производительность) первой трубы. Тогда, согласно условию, вторая труба пропускает на 16 литров в минуту больше, то есть её производительность равна $x + 16$ литров в минуту.

Шаг 1. Выразим время работы каждой трубы.
Мы знаем, что время равно объёму, делённому на производительность ($t = \frac{V}{p}$).
Объём резервуара составляет 105 литров.
Время, за которое первая труба заполнит резервуар: $t_1 = \frac{105}{x}$ минут.
Время, за которое вторая труба заполнит резервуар: $t_2 = \frac{105}{x + 16}$ минут.

Шаг 2. Составим уравнение.
По условию первая труба заполняет резервуар на 4 минуты дольше, чем вторая. Это значит, что разница между временем первой и второй трубы равна 4:
$\frac{105}{x} - \frac{105}{x + 16} = 4$

Шаг 3. Решим полученное уравнение.
Приведём дроби к общему знаменателю $x(x + 16)$:
$\frac{105(x + 16) - 105x}{x(x + 16)} = 4$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{105x + 1680 - 105x}{x^2 + 16x} = 4$
$\frac{1680}{x^2 + 16x} = 4$
Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения расчётов:
$\frac{420}{x^2 + 16x} = 1$
Отсюда получаем квадратное уравнение:
$x^2 + 16x = 420$
$x^2 + 16x - 420 = 0$

Шаг 4. Найдём корни квадратного уравнения.
Воспользуемся формулой дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 256 + 1680 = 1936$
$\sqrt{D} = \sqrt{1936} = 44$
Найдём корни:
$x_1 = \frac{-16 + 44}{2} = \frac{28}{2} = 14$
$x_2 = \frac{-16 - 44}{2} = \frac{-60}{2} = -30$

Шаг 5. Интерпретация результата.
Так как производительность трубы не может быть отрицательной величиной, корень $x = -30$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первая труба пропускает 14 литров воды в минуту.

Ответ: 14

Источник: ФИПИ