Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. По условию задачи скорость течения реки равна $5$ км/ч. Тогда скорость баржи по течению реки составляет $(x + 5)$ км/ч, а скорость баржи против течения реки — $(x - 5)$ км/ч. По смыслу задачи $x > 5$, так как баржа смогла вернуться обратно против течения.

Составим таблицу для наглядности:

1) Путь по течению: $S_1 = 56$ км, скорость $v_1 = x + 5$ км/ч. Время в пути: $t_1 = \frac{56}{x + 5}$ ч.
2) Путь против течения: $S_2 = 54$ км, скорость $v_2 = x - 5$ км/ч. Время в пути: $t_2 = \frac{54}{x - 5}$ ч.

По условию задачи общее время, затраченное на весь путь, равно $5$ часам. Составим уравнение:
$\frac{56}{x + 5} + \frac{54}{x - 5} = 5$

Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 5)(x - 5)$:
$\frac{56(x - 5) + 54(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 5$
$\frac{56x - 280 + 54x + 270}{x^2 - 25} = 5$
$\frac{110x - 10}{x^2 - 25} = 5$

Умножим обе части уравнения на $x^2 - 25$ (при условии $x \neq 5$ и $x \neq -5$):
$110x - 10 = 5(x^2 - 25)$
Разделим обе части на $5$, чтобы упростить вычисления:
$22x - 2 = x^2 - 25$
Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 22x - 23 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета:
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 22$
$x_1 \cdot x_2 = -23$
Отсюда корни: $x_1 = 23$, $x_2 = -1$.

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x = -1$ не подходит по смыслу задачи. Значит, собственная скорость баржи равна $23$ км/ч.

Ответ: 23

Источник: ФИПИ