Задание 21

Текстовая задача · 190 заданий

Задание №21
№21
Моторная лодка прошла против течения реки 297 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течен…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 341 кг свежих фруктов?
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 224-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выпо…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Свежие фрукты содержат 79 % воды, а высушенные — 16 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 180-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 5 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 к…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А,…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорост…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду,…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объё…
Текстовые задачи

Задание №21 — Уравнения и неравенства

Баржа прошла по течению реки 56 км и, повернув обратно, прошла ещё 54 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. По условию задачи скорость течения реки равна $5$ км/ч. Тогда скорость баржи по течению реки составляет $(x + 5)$ км/ч, а скорость баржи против течения реки — $(x - 5)$ км/ч. По смыслу задачи $x > 5$ , так как баржа смогла вернуться обратно против течения.

Составим таблицу для наглядности:

1) Путь по течению: $S_1 = 56$ км, скорость $v_1 = x + 5$ км/ч. Время в пути: $t_1 = \frac{56}{x + 5}$ ч.
2) Путь против течения: $S_2 = 54$ км, скорость $v_2 = x - 5$ км/ч. Время в пути: $t_2 = \frac{54}{x - 5}$ ч.

По условию задачи общее время, затраченное на весь путь, равно $5$ часам. Составим уравнение:
$\frac{56}{x + 5} + \frac{54}{x - 5} = 5$

Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 5)(x - 5)$ :
$\frac{56(x - 5) + 54(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 5$
$\frac{56x - 280 + 54x + 270}{x^2 - 25} = 5$
$\frac{110x - 10}{x^2 - 25} = 5$

Умножим обе части уравнения на $x^2 - 25$ (при условии $x \neq 5$ и $x \neq -5$ ):
$110x - 10 = 5(x^2 - 25)$
Разделим обе части на $5$ , чтобы упростить вычисления:
$22x - 2 = x^2 - 25$
Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 22x - 23 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета:
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 22$
$x_1 \cdot x_2 = -23$
Отсюда корни: $x_1 = 23$ , $x_2 = -1$ .

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x = -1$ не подходит по смыслу задачи. Значит, собственная скорость баржи равна $23$ км/ч.

Ответ: 23

Источник: ФИПИ