тема 10 из 12

Дробно-рациональные уравнения

В таком уравнении переменная стоит в знаменателе дроби. Сначала освободитесь от дроби, потом решите линейное или квадратное уравнение. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому корни подставляют в знаменатели.

Основа для задания11Реже в заданиях7 10 14На карте навыков

Дробно-рациональные уравнения
—В аналитике

Как решить уравнение с дробью

Дробь существует, только если её знаменатель не равен нулю. Освободитесь от дроби и решите уравнение без неё.

$\frac{1}{A} = c$ при $c \ne 0$ значит $A = \frac{1}{c}$ .
$\frac{1}{A} = \frac{1}{B}$ значит $A = B$ .
$\frac{P}{Q} = c$ значит $P = c \cdot Q$ при $Q \ne 0$ .
Подставьте каждый найденный корень в знаменатели исходного уравнения: ни один знаменатель не должен стать нулём.

Дробь равна числу

Если $\frac{1}{A} = c$ , то знаменатель $A = \frac{1}{c}$ . Остаётся линейное уравнение, а дробный корень записывают десятичной дробью. Проверка здесь не нужна: знаменатель равен $\frac{1}{c}$ , а это не ноль.

Пример

$\frac{1}{2x + 7} = 5$

1.Знаменатель равен $\frac{1}{5}$ : $2x + 7 = 0{,}2$ .
2. $2x = 0{,}2 - 7 = -6{,}8$ .
3. $x = -3{,}4$ .

Ответ: $-3{,}4$

Гипербола и прямая

\frac{1}{2x + 7} = 0{,}5

p

2

q

7

c

0{,}5

Знаменатель не равен нулю:

2x + 7 \ne 0

, то есть

x \ne -3{,}5

2x + 7 = \frac{1}{0{,}5} = 2

2x = 2 - 7 = -5

x = -5 : 2 = -2{,}5

\text{Проверка: } \frac{1}{2 \cdot \left(-2{,}5\right) + 7} = \frac{1}{2} = 0{,}5

Корень уравнения

\frac{1}{px + q} = c

— абсцисса точки, где гипербола

y = \frac{1}{px + q}

пересекает прямую

y = c

. Пунктир — вертикальная асимптота: там знаменатель равен нулю, и графика нет. Двигайте прямую и ползунки

p

q

Две дроби с числителем 1

Если числители двух равных дробей равны, то равны и знаменатели: $\frac{1}{A} = \frac{1}{B}$ значит $A = B$ . Подставьте корень в оба знаменателя.

Пример

$\frac{1}{2x - 5} = \frac{1}{4x + 13}$

1.Знаменатели равны: $2x - 5 = 4x + 13$ .
2. $-18 = 2x$ , $x = -9$ .
3.Проверка: $2 \cdot (-9) - 5 = -23$ и $4 \cdot (-9) + 13 = -23$ . Оба знаменателя не равны нулю.

Ответ: $-9$

Знаменатель не равен нулю

Уравнение $\frac{P}{Q} = c$ решают так: $P = c \cdot Q$ , потом проверяют, что $Q \ne 0$ . Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Когда обе части умножают на знаменатель с переменной, может появиться посторонний корень. При нём знаменатель равен нулю, и дробь не существует. Подставьте каждый корень в знаменатель и уберите те, при которых он равен нулю (ОДЗ).

Пример

$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$

1.Умножьте обе части на $x - 2$ : $x^2 - 4 = 0$ , $x = 2$ или $x = -2$ .
2.При $x = 2$ знаменатель $2 - 2 = 0$ : корень посторонний.
3.При $x = -2$ знаменатель $-2 - 2 = -4 \ne 0$ : корень подходит.

Ответ: $-2$

Дробь сводится к квадратному уравнению

Если $x$ стоит и в числителе, и в знаменателе, после умножения на знаменатель часто получается квадратное уравнение. Проверьте оба корня по знаменателю, потом выберите нужный.

Пример

$\frac{300x}{125x^2 - 5425} = 3$ . Если корней несколько, запишите больший.

1.Умножьте обе части на знаменатель: $300x = 375x^2 - 16275$ .
2.Разделите на 75: $4x = 5x^2 - 217$ , то есть $5x^2 - 4x - 217 = 0$ .
3. $D = 16 + 4 \cdot 5 \cdot 217 = 4356 = 66^2$ , $x = \frac{4 \pm 66}{10}$ : $x_1 = 7$ , $x_2 = -6{,}2$ .
4.Знаменатели: $125 \cdot 7^2 - 5425 = 700$ и $125 \cdot (-6{,}2)^2 - 5425 = -620$ . Оба не равны нулю, оба корня подходят.
5.Больший корень — $7$ .

Ответ: $7$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать