Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

1) Проанализируем рисунок. На координатной прямой изображён промежуток между числами $-5$ и $5$. Точки закрашены, значит, границы входят в решение. Это соответствует неравенству $-5 \leq x \leq 5$.

2) Рассмотрим предложенные варианты неравенств. Заметим, что в вариантах 1 и 3 используется выражение $x^{2} + 25$.
Выражение $x^{2}$ всегда неотрицательно ($x^{2} \geq 0$), поэтому $x^{2} + 25$ всегда больше или равно 25.
Следовательно, неравенство $x^{2} + 25 \leq 0$ не имеет решений, а неравенство $x^{2} + 25 \geq 0$ верно при любом $x$. Эти варианты нам не подходят.

3) Рассмотрим варианты 2 и 4, где используется выражение $x^{2} - 25$.
Найдём корни уравнения $x^{2} - 25 = 0$:
$x^{2} = 25$
$x = 5$ или $x = -5$.
Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -5]$, $[-5; 5]$ и $[5; +\infty)$.

4) Определим знаки функции $f(x) = x^{2} - 25$ на этих интервалах (метод интервалов):
— Если мы возьмём число из промежутка $[-5; 5]$, например $x = 0$, то $0^{2} - 25 = -25$. Это число меньше нуля ($-25 \leq 0$).
— Если мы возьмём число вне этого промежутка, например $x = 6$, то $6^{2} - 25 = 36 - 25 = 11$. Это число больше нуля ($11 \geq 0$).

5) Таким образом:
— Неравенству $x^{2} - 25 \leq 0$ соответствует внутренний промежуток $[-5; 5]$.
— Неравенству $x^{2} - 25 \geq 0$ соответствуют внешние промежутки $(-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$.

На рисунке заштрихован именно внутренний промежуток $[-5; 5]$, что соответствует неравенству под номером 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ