Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения квадратного неравенства $x^{2} - 64 > 0$ воспользуемся методом интервалов.

Шаг 1. Найдём корни соответствующего уравнения.
Приравняем левую часть неравенства к нулю: $x^{2} - 64 = 0$.
Перенесём число $64$ в правую часть: $x^{2} = 64$.
Отсюда находим корни: $x_{1} = 8$ и $x_{2} = -8$.

Шаг 2. Разложим выражение на множители.
Используя формулу разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$, запишем неравенство в виде:
$(x - 8)(x + 8) > 0$.

Шаг 3. Определим знаки на числовой прямой.
Отметим точки $-8$ и $8$ на числовой оси. Точки будут "выколотыми" (пустыми), так как знак неравенства строгий ($>$). Эти точки разбивают прямую на три интервала:
1) От $-\infty$ до $-8$: возьмём число $-10$. Подставим: $(-10)^{2} - 64 = 100 - 64 = 36 > 0$. Знак "+".
2) От $-8$ до $8$: возьмём число $0$. Подставим: $0^{2} - 64 = -64 < 0$. Знак "−".
3) От $8$ до $+\infty$: возьмём число $10$. Подставим: $10^{2} - 64 = 100 - 64 = 36 > 0$. Знак "+".

Шаг 4. Выберем нужные промежутки.
Так как в неравенстве стоит знак $> 0$, нам подходят интервалы со знаком "+". Это промежутки $(-\infty; -8)$ и $(8; +\infty)$.

Данное решение соответствует варианту № 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ