Задание №19 — Геометрия

Решение. Рассмотрим каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность.

1) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
Это утверждение верно. Согласно неравенству треугольника, любая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других его сторон. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой $c$ и катетами $a$ и $b$ всегда выполняется неравенство: $c < a + b$.

2) Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
Это утверждение верно. Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. У прямоугольника все углы прямые (равны $90^\circ$), поэтому сумма любых двух противоположных углов составляет $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Следовательно, вокруг любого прямоугольника можно описать окружность (или, что то же самое, вписать его в окружность).

3) Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
Это утверждение неверно. Согласно одной из основных аксиом геометрии, через одну точку на плоскости можно провести бесконечно много различных прямых. Только через две различные точки можно провести единственную прямую.

Таким образом, истинными являются утверждения под номерами 1 и 2.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ