Задание №19 — Геометрия

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, опираясь на геометрические правила и теоремы:

1) Один из углов треугольника всегда не превышает $60$ градусов.
Вспомним, что сумма всех углов любого треугольника равна $180^{\circ}$. Если предположить, что все три угла больше $60^{\circ}$, то их сумма окажется больше $180^{\circ}$ ($60 + 60 + 60 = 180$). Следовательно, хотя бы один угол обязан быть меньше или равен $60^{\circ}$, чтобы сумма оставалась верной. Это утверждение верно.

2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Согласно теореме о средней линии трапеции, она равна полусумме оснований, то есть $m = \frac{a + b}{2}$. Утверждение о том, что она равна просто сумме, является ошибкой. Это утверждение неверно.

3) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Это одно из фундаментальных свойств касательной, изучаемое в курсе геометрии 7–9 классов. Угол между радиусом и касательной в точке их пересечения всегда составляет $90^{\circ}$. Это утверждение верно.

Таким образом, истинными являются утверждения под номерами 1 и 3.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ