Задание №19 — Геометрия

Решение. Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность.

1) «Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон».
Вспомним формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.
Так как синус любого угла не превышает $1$ ($\sin \gamma \le 1$), а в формуле присутствует множитель $\frac{1}{2}$, то значение площади всегда будет меньше произведения $a \cdot b$. Даже в прямоугольном треугольнике площадь равна половине произведения катетов ($S = \frac{1}{2}ab$), что явно меньше, чем $ab$.
Следовательно, это утверждение верно.

2) «Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую».
Согласно основным аксиомам геометрии, через одну точку можно провести бесконечно много различных прямых. Только через две различные точки можно провести единственную прямую.
Следовательно, это утверждение неверно.

3) «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны».
Это формулировка первого признака подобия треугольников (по двум углам). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то и третьи углы этих треугольников будут равны (так как сумма углов всегда $180^\circ$), а значит, треугольники имеют одинаковую форму и их стороны пропорциональны.
Следовательно, это утверждение верно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 1 и 3.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ