Задание №19 — Геометрия

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность:

1) Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
Это утверждение неверно. Свойство «диагонали делятся точкой пересечения пополам» характерно только для параллелограммов (включая прямоугольник, ромб и квадрат). В трапеции же отрезки диагоналей, на которые они делятся точкой пересечения, пропорциональны основаниям, но не равны друг другу.

2) Все диаметры окружности равны между собой.
Это утверждение верно. По определению, диаметр окружности равен двум радиусам ($d = 2r$). Поскольку все радиусы одной окружности равны по определению (это расстояние от центра до любой точки окружности), то и все диаметры этой окружности будут равны между собой.

3) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
Это утверждение верно. Докажем это методом «от противного». Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$. Если предположить, что каждый из трёх углов больше $60^{\circ}$, то их сумма будет больше, чем $60^{\circ} \cdot 3 = 180^{\circ}$, что невозможно. Следовательно, хотя бы один угол обязан быть меньше или равен $60^{\circ}$.

Таким образом, истинными являются утверждения под номерами 2 и 3.

Ответ: 23

Источник: ФИПИ