Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов, которая связывает сторону треугольника, противолежащий ей угол и радиус описанной окружности.

1) Согласно теореме синусов, отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно двум радиусам описанной окружности $(2R)$:
$\frac{AB}{\sin C} = 2R$

2) Нам известна сторона $AB = 14\sqrt{2}$ и угол $C = 135^\circ$, который лежит против этой стороны. Подставим эти значения в формулу:
$\frac{14\sqrt{2}}{\sin 135^\circ} = 2R$

3) Найдём значение синуса угла $135^\circ$. Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, получим:
$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

4) Подставим значение синуса в наше уравнение:
$\frac{14\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R$

5) Упростим левую часть выражения. При делении на дробь мы умножаем на обратную ей дробь:
$14\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 2R$
Корни $\sqrt{2}$ в числителе и знаменателе сокращаются:
$14 \cdot 2 = 2R$
$28 = 2R$

6) Чтобы найти радиус $R$, разделим обе части уравнения на 2:
$R = \frac{28}{2} = 14$

Ответ: 14

Источник: ФИПИ