Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием геометрической прогрессии, так как масса колонии увеличивается в одинаковое количество раз за равные промежутки времени.

1. Сначала определим количество этапов увеличения массы. Общее время эксперимента составляет $150$ минут, а одно увеличение происходит каждые $30$ минут. Разделим общее время на длительность одного периода:
$150 : 30 = 5$ (этапов увеличения).

2. Обозначим начальную массу колонии как $b_1 = 10$ мг.
Так как масса увеличивается в $3$ раза, знаменатель геометрической прогрессии равен $q = 3$.

3. Нам нужно найти массу колонии после $5$ этапов увеличения. Это будет шестой член последовательности ($b_6$), так как первый член — это начальное состояние, а после каждого этапа мы получаем следующий член:
- Начало: $b_1 = 10$
- Через 30 мин: $b_2 = 10 \cdot 3$
- Через 60 мин: $b_3 = 10 \cdot 3^2$
- ... и так далее.

4. Воспользуемся формулой $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
В нашем случае $n = 6$, так как прошло $5$ периодов роста:
$b_6 = 10 \cdot 3^{6-1} = 10 \cdot 3^5$.

5. Вычислим значение $3^5$:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
$3^5 = 243$

6. Теперь найдем итоговую массу:
$10 \cdot 243 = 2430$ (мг).

Ответ: 2430

Источник: ФИПИ