Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $BOC$. Точка $O$ является центром окружности, а отрезки $OB$ и $OC$ — её радиусами. Так как все радиусы одной окружности равны, то $OB = OC$. Следовательно, треугольник $BOC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $\angle OBC = \angle OCB$. По условию задачи $\angle ACB = 23^{\circ}$ (это тот же угол, что и $\angle OCB$), поэтому $\angle OBC = 23^{\circ}$.

3) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Найдём угол $BOC$ при вершине треугольника:
$\angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^{\circ} - (23^{\circ} + 23^{\circ}) = 180^{\circ} - 46^{\circ} = 134^{\circ}$.

4) Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры, которые пересекаются в точке $O$. Углы $AOD$ и $BOC$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов они равны между собой.

5) Таким образом, $\angle AOD = \angle BOC = 134^{\circ}$.

Ответ: 134

Источник: ФИПИ