Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного (равностороннего) треугольника. На рисунке изображён равносторонний треугольник, вписанный в окружность.

1. Пусть $a$ — сторона равностороннего треугольника, а $R$ — радиус описанной около него окружности. По условию задачи сторона треугольника $a = 20\sqrt{3}$.

2. Существует стандартная формула, связывающая сторону правильного треугольника и радиус описанной окружности:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

3. Подставим известное значение стороны $a$ в эту формулу:
$R = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

4. Сократим дробь на $\sqrt{3}$:
$R = 20$

Замечание для понимания: Эту же формулу можно вывести через теорему синусов. Для любого треугольника $\frac{a}{\sin A} = 2R$. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$, значит:
$2R = \frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
Отсюда $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$, что подтверждает наш расчёт.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ