Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Для решения этой задачи нужно понять, сколько раз масса изотопа уменьшится вдвое за указанное время.

1. Сначала определим количество периодов распада. По условию, масса уменьшается вдвое каждые $8$ минут. Общее время процесса составляет $40$ минут. Разделим общее время на длительность одного периода:
$n = 40 : 8 = 5$.
Это значит, что масса изотопа будет уменьшаться вдвое $5$ раз.

2. Эту задачу можно рассматривать как геометрическую прогрессию, где первый член $b_1 = 160$ (начальная масса), а знаменатель $q = \frac{1}{2}$ (так как масса уменьшается вдвое). Нам нужно найти массу после 5 циклов распада.

3. Выполним вычисления по шагам:
— Через 8 минут: $160 : 2 = 80$ мг;
— Через 16 минут: $80 : 2 = 40$ мг;
— Через 24 минуты: $40 : 2 = 20$ мг;
— Через 32 минуты: $20 : 2 = 10$ мг;
— Через 40 минут: $10 : 2 = 5$ мг.

4. Также можно воспользоваться формулой $n$-го члена геометрической прогрессии или просто возвести знаменатель в степень:
$m = 160 \cdot (\frac{1}{2})^5 = 160 \cdot \frac{1}{32} = \frac{160}{32} = 5$.

Таким образом, через 40 минут масса изотопа составит 5 мг.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ