Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами правильного (равностороннего) треугольника. На рисунке изображён равносторонний треугольник, вписанный в окружность.

1. Обозначим сторону равностороннего треугольника как $a$. По условию задачи $a = 14\sqrt{3}$.

2. Существует готовая формула, связывающая радиус описанной окружности $R$ и сторону правильного треугольника $a$:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

3. Эту формулу легко получить, если вспомнить, что в равностороннем треугольнике все углы равны $60^{\circ}$. По теореме синусов:
$\frac{a}{\sin 60^{\circ}} = 2R$

Так как $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставим это значение:
$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$
$\frac{2a}{\sqrt{3}} = 2R$
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

4. Подставим известное значение стороны $a = 14\sqrt{3}$ в формулу для радиуса:
$R = \frac{14\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

5. Сократим дробь на $\sqrt{3}$:
$R = 14$

Таким образом, радиус описанной окружности равен 14.

Ответ: 14

Источник: ФИПИ