Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим связь между радиусом вписанной окружности и стороной квадрата. На рисунке видно, что окружность касается всех сторон квадрата. Это означает, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Если обозначить сторону квадрата как $a$, а радиус вписанной окружности как $r$, то получим формулу:
$a = 2r$.

2. Подставим известное значение радиуса $r = 8\sqrt{2}$ в формулу, чтобы найти сторону квадрата:
$a = 2 \cdot 8\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$.

3. Теперь найдем диагональ квадрата. Обозначим диагональ как $d$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю квадрата:
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.
Отсюда следует известная формула диагонали квадрата: $d = a\sqrt{2}$.

4. Подставим найденное значение стороны $a = 16\sqrt{2}$ в формулу диагонали:
$d = (16\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$.
Так как $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, производим окончательный расчет:
$d = 16 \cdot 2 = 32$.

Ответ: 32

Источник: ФИПИ