Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $BOC$. Точка $O$ является центром окружности, а отрезки $OB$ и $OC$ — её радиусами. Так как все радиусы одной окружности равны, то $OB = OC$. Следовательно, треугольник $BOC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $\angle OBC = \angle OCB$. По условию задачи $\angle ACB = 59^\circ$, что и есть угол $\angle OCB$. Таким образом, $\angle OBC = 59^\circ$.

3) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдём угол $BOC$ при вершине треугольника:
$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (59^\circ + 59^\circ) = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$.

4) Отрезки $AC$ и $BD$ являются диаметрами и пересекаются в точке $O$. Углы $BOC$ и $AOD$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов они равны:
$\angle AOD = \angle BOC = 62^\circ$.

Ответ: 62

Источник: ФИПИ