Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника. На рисунке изображён равносторонний треугольник, вписанный в окружность.

1. Обозначим сторону равностороннего треугольника как $a$. По условию задачи $a = 10\sqrt{3}$.

2. Существует готовая формула, связывающая радиус описанной окружности $R$ и сторону правильного треугольника $a$:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

3. Подставим известное значение стороны в эту формулу:
$R = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

4. Сократим дробь на корень из трёх ($\sqrt{3}$):
$R = 10$

Замечание: Эту же формулу можно вывести через теорему синусов. Для любого треугольника $\frac{a}{\sin A} = 2R$. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$, значит:
$2R = \frac{a}{\sin 60^\circ}$
$2R = \frac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$2R = 10\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$
$2R = 20$
$R = 10$

Ответ: 10

Источник: ФИПИ