Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Для решения этой задачи важно понять, что масса колонии микроорганизмов изменяется в геометрической прогрессии, так как она увеличивается в определённое количество раз за равные промежутки времени.

Шаг 1. Определим количество этапов увеличения массы.
По условию, масса увеличивается каждые 30 минут. Нам нужно узнать, что произойдёт через 120 минут. Разделим общее время на длительность одного периода:
$120 : 30 = 4$ (этапа).
Это значит, что масса колонии будет увеличиваться в 3 раза ровно 4 раза.

Шаг 2. Составим последовательность.
Пусть $b_1 = 5$ мг — начальная масса колонии.
Знаменатель геометрической прогрессии $q = 3$, так как масса увеличивается в 3 раза.
Нам нужно найти массу после 4-х увеличений, то есть пятый член последовательности $b_5$.

Шаг 3. Выполним вычисления по этапам:
1) Через 30 минут: $5 \cdot 3 = 15$ мг;
2) Через 60 минут: $15 \cdot 3 = 45$ мг;
3) Через 90 минут: $45 \cdot 3 = 135$ мг;
4) Через 120 минут: $135 \cdot 3 = 405$ мг.

Альтернативный способ (через формулу):
Используем формулу $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
В нашем случае $n = 5$ (начальное состояние + 4 периода изменений):
$b_5 = 5 \cdot 3^{5-1} = 5 \cdot 3^4$.
Вычислим степень: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
Найдём итоговую массу: $5 \cdot 81 = 405$ мг.

Ответ: 405

Источник: ФИПИ