Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Проанализируем условие задачи. Поезд за каждую следующую секунду проходит на одно и то же расстояние больше, чем за предыдущую. Это означает, что расстояния, пройденные за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию.

Выпишем известные нам данные:
1. Расстояние за первую секунду: $a_1 = 1$ м.
2. Разность прогрессии (на сколько увеличивается путь каждую секунду): $d = 0,2$ м.
3. Время движения: $n = 8$ секунд.

Нам необходимо найти общее расстояние, пройденное составом за первые 8 секунд. В терминах прогрессии это сумма первых $n$ членов ($S_n$).

Шаг 1. Вспомним формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$

Шаг 2. Подставим наши значения в формулу:
$S_8 = \frac{2 \cdot 1 + (8 - 1) \cdot 0,2}{2} \cdot 8$

Шаг 3. Выполним вычисления по действиям:
1) Сначала найдем значение в скобках: $8 - 1 = 7$.
2) Умножим на разность: $7 \cdot 0,2 = 1,4$.
3) Прибавим удвоенный первый член: $2 \cdot 1 + 1,4 = 2 + 1,4 = 3,4$.
4) Теперь подставим результат в дробь: $S_8 = \frac{3,4}{2} \cdot 8$.
5) Сократим 8 и 2, получим: $S_8 = 3,4 \cdot 4$.
6) Вычислим итоговое произведение: $3,4 \cdot 4 = 13,6$.

Таким образом, за первые 8 секунд поезд прошел 13,6 метра.

Ответ: 13,6

Источник: ФИПИ