Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость моторной лодки в неподвижной воде (собственная скорость лодки). По условию задачи скорость течения реки равна $3$ км/ч. Тогда:

1) Скорость лодки по течению реки равна $(x + 3)$ км/ч.
2) Скорость лодки против течения реки равна $(x - 3)$ км/ч.

Лодка прошла $210$ км в каждую сторону. Выразим время, затраченное на каждый путь:
— Время на путь против течения: $t_1 = \frac{210}{x - 3}$ ч.
— Время на путь по течению: $t_2 = \frac{210}{x + 3}$ ч.

По условию задачи на обратный путь (по течению) лодка затратила на $4$ часа меньше, чем на путь против течения. Составим уравнение:
$\frac{210}{x - 3} - \frac{210}{x + 3} = 4$

Разделим обе части уравнения на $2$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{105}{x - 3} - \frac{105}{x + 3} = 2$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 3)(x + 3)$:
$\frac{105(x + 3) - 105(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = 2$
$\frac{105x + 315 - 105x + 315}{x^2 - 9} = 2$
$\frac{630}{x^2 - 9} = 2$

Воспользуемся основным свойством пропорции:
$2(x^2 - 9) = 630$
$x^2 - 9 = 315$
$x^2 = 315 + 9$
$x^2 = 324$

Отсюда находим корни уравнения:
$x_1 = 18$
$x_2 = -18$

Так как скорость лодки не может быть отрицательной величиной, корень $x = -18$ не подходит по смыслу задачи. Значит, собственная скорость лодки равна $18$ км/ч.

Ответ: 18

Источник: ФИПИ